数学分析电子版答案

摘要： **标题：数学分析下册答案解析与指导**---数学分析是数学的一个基础分支，涉及到函数、极限、微积分等内容。下册通常会深入探讨微积分的各种应用和高阶概念。解答数学分析下册的问题需要...

数学分析下册答案解析与指导

数学分析是数学的一个基础分支，涉及到函数、极限、微积分等内容。下册通常会深入探讨微积分的各种应用和高阶概念。解答数学分析下册的问题需要对微积分理论有深入的理解，并且能够灵活运用所学知识解决实际问题。

本章主要介绍多元函数的微分学，包括偏导数、全微分、方向导数等概念。学习本章内容时，需要掌握对多元函数的偏导数求解方法，并理解方向导数的几何意义。

例题1：计算函数$f(x,y)=x^2y xy^2$在点$(1,2)$处的偏导数。

解答：

对于函数$f(x,y)=x^2y xy^2$，分别对$x$和$y$求偏导数：

偏导数$\frac{\partial f}{\partial x}=2xy y^2$

偏导数$\frac{\partial f}{\partial y}=x^2 2xy$

将点$(1,2)$代入上述偏导数表达式中，得：

在点$(1,2)$处的偏导数$\frac{\partial f}{\partial x}=2(1)(2) (2)^2=6$

在点$(1,2)$处的偏导数$\frac{\partial f}{\partial y}=(1)^2 2(1)(2)=5$

指导建议：

• 在计算偏导数时，注意使用基本的求导法则。
• 代入具体数值时，要小心计算，避免出错。

本章介绍了重积分的概念和计算方法，包括二重积分和三重积分。学习本章内容需要掌握多重积分的计算技巧，以及理解积分区域的几何意义。

例题2：计算二重积分$\iint_D(2x y)d\sigma$，其中积分区域$D$为由直线$x=0$、$x=1$和$y=0$所围成的区域。

解答：

根据积分区域$D$的描述，画出积分区域的示意图，确定积分限。

积分区域$D$如下所示：


在此积分区域内，$x$的取值范围是$[0,1]$，$y$的取值范围是$[0,x]$。

因此，对二重积分$\iint_D(2x y)d\sigma$进行计算：

$\iint_D(2x y)d\sigma=\int_0^1\int_0^x(2x y)dydx$

$=\int_0^1\left[2xy \frac{1}{2}y^2\right]_0^xdx$

$=\int_0^1(2x^2 \frac{1}{2}x^2)dx$

$=\int_0^1\frac{5}{2}x^2dx$

$=\left[\frac{5}{6}x^3\right]_0^1$

$=\frac{5}{6}$

指导建议：

• 在进行重积分计算时，先画出积分区域的示意图，有助于确定积分限。
• 按照积分区域的形状和限制条件，选择适当的积分顺序。

本章介绍了曲线积分和曲面积分的概念，以及这两种积分的计算方法。学习本章内容需要理解曲线和曲面在三维空间中的参数方程表示，以及掌握对曲线和曲面积分的计算技巧。

例题3：计算曲面积分$\iint_S z^2dS$，其中曲面$S$是球面$x^2 y^2 z^2=a^2$与平面$z=0$所围成的部分。

解答：

球面$x^2 y^2 z^2=a^2$与平面$z=0$所围成的部分是一个半球体，球心在原点，半径为$a$。

根据曲面积分的定义，可将曲面积分$\iint_S z^2dS$转化为对参数方程的积分：

$\iint_S z^2dS=\iint_D(z(u,v))^2|\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v|dudv$

其中，$D$为参数域，$\mathbf{r}(u,v)$为参数方程。

由于曲面是一个半球体，可使用球面的参数方程表示：

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